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Diplomprüfung im Fach Entscheidungslehre 1. Klausur (WS 2004/2005)
Page 1
1
Diplomprüfung im Fach Entscheidungslehre
1. Klausur (WS 2004/2005)
Studiengang: Betriebswirtschaftslehre, Prof. Dr. Rüdiger von Nitzsch
Name: ________________________________________
Matr. Nr.: ___________
Die folgenden Prüfungsteile sind obligatorisch zu bearbeiten. Das jeweils angegebene Minutenkontingent
entspricht einem für die Bewertung maßgeblichen Punktekontingent. Es sind nur Taschenrechner erlaubt, die
nicht programmierbar sind und keinen Textspeicher haben. Nicht nur die Lösung, sondern der gesamte Lö-
sungsweg wird bewertet. Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen.
Aufgabe 1
(5 + 3 + 8 + 2 = 18 Minuten)
Margot will sich ein Auto für ein Jahr kaufen. Sie steht vor der Wahl zwischen einem Neuwagen und einem
Gebrauchtwagen. Sie bewertet ein Auto nach einer additiven Nutzenfunktion, wobei zwei Ziele relevant sind:
Kosten pro Jahr und Spaßpunkte.
a) Bestimmen Sie die Gewichte der additiven Nutzenfunktion, wenn für Margot 3 Spaßpunkte soviel wert
sind wie zusätzliche 1.200 Euro Kosten pro Jahr. Unterstellen Sie eine lineare Nutzenfunktion in den
beiden Zielen.
Bandbreiten: Kosten [2.000 Euro; 5.000 Euro] Spaßpunkte [0; 10]
b) Ein Neuwagen verursacht 5.000 Euro pro Jahr und bekommt 10 Spaßpunkte. Ein Gebrauchtwagen
ohne Mängel kostet 2.000 Euro pro Jahr und hat 7 Spaßpunkte. Hat der Gebrauchtwagen Mängel, so
kostet er 4.000 Euro pro Jahr und hat 0 Spaßpunkte. Bestimmen Sie die Nutzenwerte.
c) Margot weiß, dass durchschnittlich 80% der Gebrauchtwagen mängelfrei und 20% mängelbehaftet
sind. Wenn Sie ein DEKRA Gutachten für den Gebrauchtwagen erstellen lässt, weiß Sie mit Sicher-
heit (zu 100%), ob der Gebrauchtwagen mängelbehaftet oder mängelfrei ist. Margot steht konkret vor
der Entscheidung zwischen einem Neuwagen und einem Gebrauchtwagen. Sie kann diese Entschei-
dung ohne DEKRA Gutachten oder mit DEKRA Gutachten treffen. Zeichnen Sie für die Entschei-
dungssituation einen Entscheidungsbaum und bestimmen Sie nach dem Roll-Back Verfahren die op-
timale Strategie von Margot, wenn das DEKRA Gutachten nichts kostet.
d) Wie viel darf das Gutachten maximal kosten, damit sich Margots optimale Entscheidung nicht ändert?
Aufgabe 2
(8 + 7 = 15 Minuten)
Sie planen für Ihre Altersvorsorge und überlegen deshalb, wie Sie Ihr Vermögen in Höhe von 100.000
Euro strukturieren sollen. Ihre Bank empfiehlt Ihnen, dieses Geld so anzulegen, dass Ihr Nutzen maxi-
miert wird. Ihr Parameter der Risikoeinstellung beträgt c=0,00025. Als mögliche Anlagen bieten sich auf
der einen Seite Bundesanleihen mit einer sicheren Verzinsung von 4% an, auf der anderen Seite könnten
Sie das Geld in einen Investmentfonds investieren, der folgende zustandsabhängige Renditen erzielt:

Page 2
2
Zustand
s
1
s
2
s
3
Wahrscheinlichkeit
10%
60%
30%
Rendite des Investmentfonds
-5%
10%
15%
a) Wie sollten Sie Ihr Vermögen nutzenoptimal zwischen den Bundesanleihen und dem Investment-
fonds aufteilen?
b) Sie tätigen zusätzlich eine Investition, die folgendes Auszahlungsmuster hat:
Zustand
s
1
s
2
s
3
Wahrscheinlichkeit
10%
60%
30%
Auszahlung der Investition (in Tsd. Euro)
15
5
10
Wie viel sollten Sie jetzt in den Investmentfonds investieren?
Aufgabe 3
(2 + 5 + 8 = 15 Minuten)
Sie führen ein mittelständisches Unternehmen, welches vor drei Investitionsalternativen steht (Neue
Produktionsstätte erstellen, alte Produktionsstätten erweitern, alte Produktionsstätten modernisieren). Die
in der Tabelle zugehörigen Werte geben Ihnen den Gewinn an:
(Alternative)
s
1
s
2
s
3
s
4
Neue Produktionsstätte (a
1
)
Alte Produktionsstätte erweitern (a
2
)
Alte Produktionsstätte modernisieren (a
3
)
600
700
400
300
600
300
600
200
100
500
300
400
a) Werden Alternativen von einer anderen dominiert? Wenn ja, welche Alternative dominiert welche?
b) Streichen Sie nun Alternative a
3
. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Wahrscheinlich-
keiten der Zustände geordnet werden können. Es gilt p(s
3
) ≥ p(s
2
) ≥ p(s
1
) ≥ p(s
4
). Für welche Al-
ternative entscheiden Sie sich, wenn Sie risikoneutral handeln?
c) Streichen Sie nun zusätzlich zur Alternative a
3
den Zustand s
4
. Für die unbekannten Wahrschein-
lichkeiten können Sie nun folgende Intervalle festlegen:
(Alternative)
p(s
1
)
p(s
2
)
p(s
3
)
Intervalle
[10%, 20%]
[30%, 50%]
[40%, 60%]
Für welche Investitionsalternative entscheiden Sie sich jetzt?
Aufgabe 4
(12 Minuten)
Lösen Sie den beiliegenden Multiple Choice Aufgabenteil.
Viel Erfolg!

Page 3
Aufgabe 1
x = Kosten in Euro pro Jahr, Bandbreite [2.000 Euro, 5.000 Euro]
y = Spaßpunkte, Bandbreite [0, 10]
jeweils lineare Nutzenfunktion
a) Trade off: (x+1.200 Euro, y+3 Spaßpunkte) entspricht (x Euro, y Spaßpunkte)
w
1
U
1
(x+1.200) + w
2
U
2
(y+3) = w
1
U
1
(x) + w
2
U
2
(y)
w
1
0,4 = w
2
0,3
Normierung: w
1
+ w
2
= 1
w
1
= 3 / 7
w
2
= 4 / 7
b) Neuwagen:
U(5.000 Euro, 10 Spaßpunkte) = 3/7 * 0 + 4/7 * 1 = 0,571
Gebrauchtwagen (o. M.): U(2.000 Euro, 7 Spaßpunkte) = 3/7 * 1 + 4/7 * 0,7 = 0,829
Gebrauchtwagen (m. M.) U(4.000 Euro, 0 Spaßpunkte) = 3/7 * 0,33 + 4/7 * 0 = 0,143
c)
Entscheidungsknoten:
Ereignisknoten:
Konsequenz:
3
U(5.000 Euro, 10 Spaßpunkte)
= 0,5714
U(2.000 Euro, 7 Spaßpunkte)
= 0,8286
U(4.000 Euro, 0 Spaßpunkte)
= 0,1426
Neuwagen
mängelbehaftet
20%
U(2.000 Euro, 7 Spaßpunkte)
= 0,8286
U(5.000 Euro, 10 Spaßpunkte)
= 0,5714
U(4.000 Euro, 0 Spaßpunkte)
= 0,1426
Gebrauchtwagen
Gutachten schlecht
20%
U = 0,6914
Gutachten gut
80%
U = 0,5714
Gebrauchtwagen
Neuwagen
U = 0,8286
Gebrauchtwagen
Neuwagen
DEKRA
mängelfrei
80%
U(5.000 Euro, 10 Spaßpunkte)
= 0,5714
U = 0,7772

Page 4
optimale Strategie/Entscheidung:
DEKRA Gutachten, Gutachten „gut“ – Gebrauchtwagen kaufen, Gutachten „schlecht“ – Neuwa-
gen kaufen
d)
Der Preis für das DEKRA Gutachten, ab dem sich die optimale Strategie von Margot ändert,
lässt sich nicht bestimmen, da im unteren Ast des Entscheidungsbaums der Nutzen von U(5.000
Euro + x, 10) bestimmt werden müsste. 5.000 Euro + x liegt außerhalb der Bandbreite, die Nut-
zenfunktion ist hier nicht definiert.
Aufgabe 2
a) Der optimale Anlagebetrag in den Investmentfonds errechnet sich wie folgt:
( )
( )
2
r
c
i
r
E
a
σ
=
Gesucht ist
und
. “c” ist der Parameter der Risikoeinstellung, der sich aus der
exponentiellen Nutzenfunktion ergibt: c = 0,00025 (denn die Nutzenfunktion hat allgemein die
Form u(x) = 1 - e
(
E r i
%
)
( )
2
r
σ
%
-cx
und hier gilt u(x) = 1 - e
-0,00025x
.)
(
)
( )
( )
4%
10%*( 5%) 60%*(10%) 30%*(15%) 4%
10% 4%
6%.
E r i
E r i
E r
− =
=
=
+
+
=
=
%
%
%
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
10%* 5% 10%
60%* 10% 10%
30%* 15% 10%
10%* 15%
60%*(0%)
30%* 5%
(5,548%)
0,003
r
σ
=
+
+
=
+
+
=
=
%
2
(
)
( )
2
0,06
80.000.
0,00025 0,003
E r i
a
c
r
σ
=
=
=
%
%
Sie sollten 80.000 Euro in den Investmentfonds und 20.000 Euro in die Bundesanleihen anle-
gen. Dann erreicht er genau ein nutzenmaximales Ergebnis.
b) Der optimale Anlagebetrag in den Investmentfonds errechnet sich wie folgt:
( )
2
cov( , )
z r
b a
r
σ
− =
%
%
4

Page 5
Gesucht:
[
]
cov( , )
(
( ))*(
( ))
z r
E z E z
r E r
=
%
%
%
, z in Tsd. Euro
E(z) = 10% * 15 + 60% * 5 + 30% * 10 = 7,5
cov( , ) 10%*(15 7,5)*( 5% 10%) 60%*(5 7,5)*(10% 10%) 30%*(10 7,5)*(15% 10%)
10%*(7,5)*( 15%) 30%*(2,5)*(5%)
0,075
z r =
+
+
=
+
= −
%
( )
2
cov( , )
0,075
0,003
25
z r
b a
r
σ
− =
= −
=
%
%
Sie sollten 105.000 Euro in den Investmentfonds anlegen.
Aufgabe 3
a) Alternative a
3
fällt weg, da sie von Alternative a
1
dominiert wird.
b) Zunächst werden die möglichen Zustände nach ihren Wahrscheinlichkeiten geordnet:
Alternative
s
3
s
2
s
1
s
4
a
1
600
300
600
500
a
2
200
600
700
300
kumulierte Werte a
1
600
900
1500
2000
kumulierte Werte a
2
200
800
1500
1800
⇒ Die kumulierten Werte für a
1
sind in jedem Zustand besser als die für a
2
oder zumindest
gleich gut.
⇒ a
1
dominiert a
2
⇒ wähle a
1
c) a
1
dominiert a
2
?
min ( E(a
1
) – E(a
2
) ) = min (p(s
1
) * (600-700) + p(s
2
) * (300-600) + p(s
3
) * (600-200))
unter den Nebenbedingungen
p(s
1
)
[10%, 20%], p(s
2
)
[30%, 50%], p(s
3
)
[40%, 60%], p(s
1
)+ p(s
2
)+ p(s
3
)=1
Algorithmus anwenden: beginne mit Intervalluntergrenzen, erhöhe Wahrscheinlichkeit des Zustands
mit der kleinsten Differenz in den Gewinnen, überprüfe ob sich Wahrscheinlichkeiten zu eins erge-
ben
1) 10% * (-100) + 30% * (-300) + 40% * (400)
2) 10% + 30% + 40% = 80% <> 1
3) 15% * (-100) + 50% * (-300) + 40% * (400) = 0
⇒ a
1
dominiert a
2
5

Page 6
a
2
dominiert a
1
?
max ( E(a
1
) – E(a
2
) ) = min (p(s
1
) * (600-700) + p(s
2
) * (300-600) + p(s
3
) * (600-200))
unter den Nebenbedingungen
p(s
1
)
[10%, 20%], p(s
2
)
[30%, 50%], p(s
3
)
[40%, 60%], p(s
1
)+ p(s
2
)+ p(s
3
)=1
Algorithmus anwenden: beginne mit Intervalluntergrenzen, erhöhe Wahrscheinlichkeit des Zustands
mit der größten Differenz in den Gewinnen, überprüfe ob sich Wahrscheinlichkeiten zu eins ergeben
1) 10% * (-100) + 30% * (-300) + 40% * (400)
2) 10% + 30% + 40% = 80% <> 1
3) 15% * (-100) + 30% * (-300) + 60% * (400) = 135 > 0
⇒ a
2
dominiert a
1
nicht
⇒ wähle a
1
6