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Diplomvorprüfung im Fach Entscheidungslehre 2. Klausur (WS 2004/2005)
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1
Diplomvorprüfung im Fach Entscheidungslehre
2. Klausur (WS 2004/2005)
Studiengang: Betriebswirtschaftslehre, Prof. Dr. Rüdiger von Nitzsch
Name: ________________________________________
Matr. Nr.: ___________
Die folgenden Prüfungsteile sind obligatorisch zu bearbeiten. Das jeweils angegebene Minutenkontingent
entspricht einem für die Bewertung maßgeblichen Punktekontingent. Es sind nur Taschenrechner erlaubt, die
nicht programmierbar sind und keinen Textspeicher haben. Nicht nur die Lösung, sondern der gesamte Lö-
sungsweg wird bewertet. Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen (z.B. 0,345% oder 2,387).
Aufgabe 1
(11 + 4 = 15 Minuten)
Zur Beurteilung eines Investitionsobjektes seien zwei Ziele zu berücksichtigen. Zum Einen soll der Kapi-
talwert der Investition maximiert werden. Die Bandbreite für den Kapitalwert liegt zwischen 10 Mio. Euro
und 50 Mio. Euro. Zugleich ist aber die Emission von Schadstoffen minimal zu halten. Mindestens kom-
men 10 Tonnen und maximal 30 Tonnen CO
2
Ausstoß in Betracht. Die in der folgenden Tabelle jeweils in
einer Zeile aufgeführten Investitionsalternativen werden von der Unternehmensleitung gleich stark präfe-
riert.
Investitionsalternative
Investitionsalternative
Kapitalwert
CO
2
Ausstoß
Kapitalwert
CO
2
Ausstoß
10 Mio.
20 Tonnen
40 Mio.
30 Tonnen
30 Mio.
10 Tonnen
50 Mio.
20 Tonnen
Nehmen Sie an, dass die Nutzenfunktion für den Kapitalwert zwischen 10 und 50 Mio. linear ist. Für die
Nutzenfunktion für das Ziel „CO
2
Ausstoß“ wurden die Stützstellen
U
Schadstoffen
(10) = 1, u
Schadstoffen
(30) = 0, u
Schadstoffen
(20) = 0,6
ermittelt.
a) Sprechen die Informationen über die Präferenzen der Unternehmensleitung eher für oder gegen
die Gültigkeit einer additiven Nutzenfunktion? Wenn ja, wie lauten die Zielgewichte der additiven
Nutzenfunktion?
b) Welches Ziel ist aufgrund der in Teil b) errechneten Zielgewichte wichtiger? Könnte man die
Bandbreite im Ziel Kapitalwert so verändern, dass beide Ziele gleichwichtig sind?

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2
Aufgabe 2
(4 + 6 + 5 = 15 Minuten)
Sie haben die Möglichkeit, ein Wertpapier mit einer riskanten Auszahlung und ein Wertpapier mit einer siche-
ren Auszahlung zu erwerben. Das riskante Wertpapier zahlt Ihnen mit 1% Wahrscheinlichkeit einen Betrag
von 2000 Euro, mit 99% Wahrscheinlichkeit müssen Sie eine Zahlung von 5 Euro leisten. Das sichere Wert-
papier zahlt Ihnen in jedem Fall einen Betrag von 10 Euro.
Ihre Wertfunktion sieht wie folgt aus:
0,85
0,85
x
( x 0),
v( x)
2 ( x)
( x 0).
∆ ≥
∆ =
− ⋅ −∆
∆ <
a) Sie sind indifferent zwischen den beiden Wertpapieren. Beschreiben Sie Ihr Risikoverhalten.
b) Welches Wertpapier kaufen Sie, wenn Sie folgende Wahrscheinlichkeitsgewichtefunktion unterstellen:
p
w(p):
p (1 p)
γ
γ
γ
δ⋅
=
δ⋅ + −
mit γ = 0,6 und δ = 0,5
c) Wenn Sie von der gleichen Wahrscheinlichkeitsgewichtefunktion wie in b) ausgehen, wie hoch muss
die Auszahlung des riskanten Wertpapiers im Zustand mit der 1%-Wahrscheinlichkeit mindestens
sein, damit Sie sich für das riskante Wertpapier entscheiden?
Aufgabe 3
(8 + 10 = 18 Minuten)
Sie sind Personalchef eines großen Unternehmens und stehen vor der Entscheidung, die Bewerberin
Frida als neue Mitarbeiterin einzustellen. Im Vorstellungsgespräch hat Frida einen guten Eindruck hinter-
lassen. Sie sind sich deshalb zu 90% sicher, dass sie eine gute Mitarbeiterin ist. Mit 10% Wahrscheinlich-
keit täuscht Sie Ihr Eindruck im Vorstellungsgespräch (schlechte Mitarbeiterin). Um zusätzliche Informati-
onen zu erhalten, können Sie zusätzlich einen Test mit Frida durchführen. Aus der Erfahrung wissen Sie,
dass gute Mitarbeiter den Test mit 95% Wahrscheinlichkeit bestehen. Schlechte Mitarbeiter bestehen
diesen Test mit 50% Wahrscheinlichkeit. Ein guter Mitarbeiter erzielt für das Unternehmen einen Gewinn
von 50.000 Euro. Ein schlechter Mitarbeiter verursacht dagegen einen Verlust in Höhe von 100.000 Euro.
Stellen Sie Frida nicht ein, entsteht Ihnen kein Gewinn und kein Verlust.
a) Berechnen Sie die Posteriori-Wahrscheinlichkeiten, wenn der Test durchgeführt wird.
b) Stellen Sie die Entscheidungssituation in einem Entscheidungsbaum dar und berechnen Sie, wie viel
die Informationsbeschaffung aus dem Test kosten darf. Das Unternehmen sei risikoneutral.
Aufgabe 4
(12 Minuten)
Lösen Sie den beiliegenden Multiple Choice Aufgabenteil.
Viel Erfolg!

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Name: ________________________________________
Matr. Nr.: ___________
Aufgabe 1
Lösung:
Gegeben:
Ziele
Bandbreite
Wertfunktion
1 Kapitalwert
10 - 50 Mio. Euro
u
1
(10) = 0, u
1
(50) = 1, linear
2 CO
2
Ausstoß
10 - 30 Tonnen
u
2
(10) = 1, u
2
(30) = 0, u
2
(20) = 0,6
2 Trade-offs:
(10 Mio., 20 Tonnen) ∼ (40 Mio., 30 Tonnen)
(30 Mio., 10 Tonnen) ∼ (50 Mio., 20 Tonnen)
a)
allgemein:
Eine Indifferenzaussage reicht zur Ermittlung von w
1
und w
2
im additiven Modell aus.
Alle Indifferenzaussagen müssen aber zu den selben w
1
und w
2
führen, damit das additive Modell gelten
kann.
hier:
Es gilt:
u(10 Mio., 20 Tonnen) = u(40 Mio., 30 Tonnen)
w
1
u
1
(10 Mio.) + w
2
u
2
(20 Tonnen) = w
1
u
1
(40 Mio.) + w
2
u
2
(30 Tonnen)
w
1
⋅ 0 + w
2
⋅ 0,6 = w
1
⋅ 0,75 + w
2
⋅ 0
w
2
⋅ 0,6 = w
1
⋅ 0,75
w
2
= 1,25 w
1
oder w
1
= 0,8 w
2
w
1
+ w
2
= 1
w
1
+ 1,25 w
1
= 1
2,25 w
1
= 1
w
1
= 4/9 w
2
= 5/9
u(30 Mio., 10 Tonnen) = u(50 Mio., 20 Tonnen)
w
1
⋅ 0,5 + w
2
⋅ 1 = w
1
⋅ 1 + w
2
⋅ 0,6
w
2
⋅ 0,4 = w
1
+ 0,5
w
2
= 1,25 w
1
w
1
+ w
2
= 1
w
1
= 4/9 w
2
= 5/9

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4
Indifferenzaussagen führen zu den selben Gewichten w
1
= 4/9 w
2
= 5/9
additives Modell anwenden
b) Die Wichtigkeit eines Ziels hat nichts mit der Höhe des Zielgewichts zu tun. Die Veränderung der Band-
breite hat keinen Einfluss auf die Wichtigkeit eines Ziels.
Aufgabe 2
a)
Riskantes Wertpapier: 1%: 2000 Euro, 99%: -5 Euro.
Erwartungswert = 1% * 2000 Euro + 99% * (-5 Euro) = 15,05 Euro
Sicheres Wertpapier: 100%: 10 Euro
Sicherheitsäquivalent = 10 Euro
Risikoprämie = Erwartungswert – Sicherheitsäquivalent
= 15,05 Euro – (10 Euro) = 5,05 Euro > 0
Sie verhalten sich risikoscheu
b) Berechnung der Wahrscheinlichkeitsgewichte mit
p
w(p):
p (1 p)
γ
γ
γ
δ⋅
=
δ⋅ + −
mit
γ = 0,6
und
δ = 0,5
p=1%:
0,6
0,6
0,6
0,5 0,01
w(1%)
3,076%
0,5 0,01
(1 0,01)
=
=
+ −
p=99%:
0,6
0,6
0,6
0,5 0,99
w(99%)
88,753%
0,5 0,99
(1 0,99)
=
=
+ −
Berechnung der Werte
v(2000 Euro) = 2000
0,85
= 639,551
v(-5 Euro) = -2 * (-(-5))
0,85
= -7,855
v(10 Euro) = 10
0,85
= 7,079
Erwartungswert der Wertfunktion mit Wahrscheinlichkeitsgewichten
Riskantes Wertpapier: 88,753% * v(-5 Euro) + 3,076% * v(2.000 Euro) = 84,93% * (-7,855) +
3,076% * 639,551 = 12,705
Sicheres Wertpapier: v(10 Euro) = 7,079
=> Sie entscheiden sich für das riskante Wertpapier

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5
c)
88,753% * v(-5 Euro) + 3,076% * v(x Euro) = v(10 Euro)
88,753% * (-7,855) + 3,076% * v(x Euro) = 7,079
v(x Euro) = 456,779
x = 1.346,068 Euro
Sie müssen im 1%-Zustand mindestens 1.346,068 Euro erhalten, damit Sie sich für das ris-
kante Wertpapier entscheiden.
Aufgabe 3
a)
• Zustände:
s
1
: Frida ist gute Mitarbeiterin p(s
1
) = 0,9
s
2
: Frida ist schlechte Mitarbeiterin p(s
2
) = 0,1
• Informationen:
Test bestanden: I
1
Test nicht bestanden: I
2
• Likelihoods:
p(Test bestanden | gute Mitarbeiterin) = p(I
1
|s
1
) = 0,95
p(Test bestanden | schlechte Mitarbeiterin) = p(I
1
|s
2
) = 0,5
p(Auskunft schlecht| gute Mitarbeiterin) = p(I
2
| s
1
) = 0,05
p(Auskunft schlecht| schlechte Mitarbeiterin) p(I
2
|s
2
) = 0,5
A-Priori-
Wahrscheinlichkeiten
Likelihoods
p(I
j
|s
i
)
gemeinsame Wkeiten
p(I
j
,s
i
)=p(I
j
|s
i
)·p(s
i
)
A-Posteriori-Wkeiten
p(s
i
|I
j
)=p(s
i
,I
j
)|p(I
j
)
p(s
i
)
I
1
I
2
I
1
I
2
I
1
I
2
s
1
0,9
0,95
0,05
0,855
0,045
0,945
0,474
s
2
0,1
0,5
0,5
0,05
0,05
0,055
0,526
0,905=p(I
1
) 0,095=p(I
2
) 1
1
p(gute Mitarbeiterin | Test bestanden) = p(s
1
| I
1
) = 0,945
p(schlechte Mitarbeiterin | Test bestanden) = p(s
2
|I
1
) = 0,55
p(gute Mitarbeiterin | Test nicht bestanden) = p(s
1
| I
1
) = 0,474
p(schlechte Mitarbeiterin | Test nicht bestanden) = p(s
2
|I
1
) = 0,526
b)
Werte in den Entscheidungsbaum eintragen und Roll-Back-Verfahren anwenden:
A-Priori-Wahrscheinlichkeiten

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6
durchführen
gute Mitarbeiterin
nicht einstellen
schlechte Mitarbeiterin
-100000 Euro
0,095
0,905
0,526
0,474
0,055
0,945
0,1
0,9
50000 Euro
0 Euro
50000 Euro
-100000 Euro
0 Euro
50000 Euro
-100000 Euro
0 Euro
instellen
gute Mitarbeiterin
gute Mitarbeiterin
schlechte Mitarbeiterin
schlechte Mitarbeiterin
nicht einstellen
nicht einstellen
Test bestanden
Test nicht bestanden
nach Test einstellen
nach Test einstellen
-28900 Euro
0 Euro
35000 Euro
-28900 Euro
41750 Euro
37793,75 Euro
37793,75 Euro
Erwartungswert ohne Test:
35000 Euro
Erwartungswert mit Test:
37783,75 Euro
Wert der Information aus Test:
37783,75-35000 = 2783,75 Euro
Der Test darf maximal 2783,75 Euro kosten.
41750 Euro