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dieser transformierten Funktion zu rechnen.
Der Grundgedanke der Wertfunktion besagt hingegen, dass Menschen bei einer Ent-
scheidung niemals die Auswirkungen auf ihr Gesamtvermögen betrachten sondern
jedes Projekt einzeln bewerten. Daher ist es möglich, unterschiedliche Wertfunktionen
für verschiedene Projekte und verschiedene Situationen zu erstellen. Zugleich liegt hier-
in die Erklärung für den Unterschied zwischen den beiden Funktionen, dass die Nutzen-
funktion lediglich positive Werte annimmt, während die Wertfunktion auch negativ sein
kann. Bei der Nutzenfunktion erhält das minimal mögliche zukünftige Gesamtvermögen
die Bewertung 0, der wie auch immer zu ermittelnde maximal mögliche Betrag den Wert
1, so dass alle anderen möglichen Vermögen mit Werten zwischen 0 und 1 bewertet
werden können.
Die Wertfunktion hingegen bewertet den Bezugspunkt immer mit 0, so dass relative
Gewinne positiv bewertet werden und relative Verluste negative Bewertungen erhalten.
Aufgabe 4
a)
a dominiert b, wenn min{E(a) – E(b)} > 0
min{E(a) – E(b)} = min{15p1 + 10p2 + 5p3 – 7p1 – 9p2 – 16p3} = min{8p1 + p2 - 11p3}
Wenn man die Grenzen der Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt, so ergeben sich p1 =
0,1, p2 = 0,4 und p3 = 0,5, so dass das gesuchte Minimum bei –4,3 liegt. a dominiert b
also nicht.
b dominiert a, wenn max{15p1 + 10p2 + 5p3 – 7p1 – 9p2 – 16p3} < 0
Wenn man hier die Wahrscheinlichkeiten ermittelt, die einerseits zulässig sind und an-
dererseits zu dem maximalen Wert führt, so ergibt sich p1 = 0,4, p2 = 0,4 und p3 = 0,2,
so dass das gesuchte Maximum bei 1,4 liegt. b dominiert a also ebenfalls nicht. Beide
Alternativen sind also effizient.
b)
Um zu entscheiden, wann Alternative b besser ist als Alternative a, muss man zuerst die
Erwartungswerte der beiden Alternativen in Abhängigkeit von den gesuchten Wahr-
scheinlichkeiten berechnen:
E(a) = 15p1 + 10p2 +5(1 – p1 – p2) = 10p1 + 5p2 + 5
E(b) = 7p1 + 9p2 +16(1 – p1 – p2) = 16 – 9p1 – 7p2
Dann folgt: E(b) ≥ E(a), wenn p2 ≤ –19/12p1 + 11/12
Wenn man die zusätzlichen Restriktionen für p1 und p2, nämlich 0,1 ≤ p1 ≤ 0,4, 0,2 ≤p2
≤ 0,5 sowie p1 + p2 ≤ 0,8, ebenfalls einträgt, so ergibt sich die folgende Grafik: